% Grundlagen der Vektoranalysis. Patrick Reichert Mai 1998.

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\title{Grundlagen der Vektoranalysis}
\author{Patrick Reichert}
\date{Mai 1998}

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\begin{document}
  % Deckblatt
  \maketitle
  \vspace{2.5cm}
  \begin{abstract}
    Dieser Artikel stellt grundlegende Aspekte der Vektoranalysis dar.
    Insbesondere werden skalare Felder und Vektorfelder, weiterhin
    der Gradient, die Divergenz sowie die Rotation eines Vektorfeldes
    betrachtet. Dabei wurde bewu"st auf eine einfache mathematische
    Ausdrucksweise und eine einpr"agsame "au"sere Form geachtet.

    Da die Vektoranalysis viele Anwendungen in der theoretischen Physik
    besitzt, wurde versucht, alle mathematischen Begriffe durch physikalische
    Sachverhalte zu verdeutlichen. Ausf"uhrlich durchgerechnete Beispiele
    runden den Artikel ab.
  \end{abstract}
  \newpage
  \tableofcontents
  \newpage

  \section{Grundlagen}
    Die Vektoranalysis stellt mathematische Modelle bereit, die es erlauben,
    Vektoren als Funktionen von Ver"anderlichen zu betrachten und mittels
    Methoden der Differential- und Integralrechnung zu untersuchen.
    Zu den Grundlagen dieser mathematischen Disziplin, die oft auch als
    \emph{Feldtheorie} bezeichnet wird, geh"oren somit sowohl Begriffe aus
    der analytischen Geometrie als auch aus der Differentialrechnung.

    \subsection{Vektoren}
      Einen Vektor nennt man jedes Element eines Vektorraumes. Die in der
      analytischen Geometrie des Raumes vorkommenden Vektoren sind
      Translationen des Raumes, die nach Festlegung eines Koordinatensystems
      als Tripel reeller Zahlen aufgefa"st werden k"onnen.

      Im folgenden wird von einem kartesischen Koordinatensystem ausgegangen,
      somit l"a"st sich jeder Vektor des Raumes \mbf{R^3} folgenderma"sen
      darstellen:
      \begin{displaymath}
         \mvec{x}{y}{z}
         = x \mvec{1}{0}{0} + y \mvec{0}{1}{0} + z \mvec{0}{0}{1}
         = x\ \vec i + y\ \vec j + z\ \vec k,
      \end{displaymath}
      wobei $\vec i,\ \vec j$ und $\vec k$ als \emph{Einheitsvektoren}
      bezeichnet werden.

    \subsection{Funktionen von zwei Ver"anderlichen}
      Bei Funktionen von zwei Ver"anderlichen unterscheidet man vier
      analytische Darstellungsformen.
      \begin{enumerate}
        \item Funktionsgleichung in der \emph{expliziten} (entwickelten)
              Form
              \begin{displaymath}
                z = f(x, y)
              \end{displaymath}
        \item Relationsgleichung in der \emph{impliziten} (unentwickelten)
              Form
              \begin{displaymath}
                F(x, y, z) = 0
              \end{displaymath}
        \item System von drei Funktionsgleichungen in der \emph{Parameterform}
              \begin{eqnarray*}
                x = f_x(\varphi, \psi) \\
                y = f_y(\varphi, \psi) \\
                z = f_z(\varphi, \psi)
              \end{eqnarray*}
              Jede der drei Variablen $x, y, z$ wird dabei zu einer Funktion
              der zwei Parameter $\varphi, \psi$, welche als die unabh"angigen
              Ver"anderlichen zu betrachten sind.
        \item Die \emph{vektorielle Darstellungsform} erh"alt man aus der
              Parameterform, wenn man die Tatsache benutzt, da"s jeder Punkt
              $P(x, y, z)$ des Raumes eindeutig einen Vektor definiert,
              dessen Anfangspunkt im Ursprung $O$ liegt und dessen Spitze
              mit $P$ zusammenf"allt (\emph{Ortsvektor} $\vec r =
              \overrightarrow{OP}$).
              \begin{displaymath}
                \vec r(\varphi, \psi) = f_x(\varphi, \psi)\ \vec i
                                      + f_y(\varphi, \psi)\ \vec j
                                      + f_z(\varphi, \psi)\ \vec k
              \end{displaymath}
      \end{enumerate}

      \tbf{Beispiel.} Vorgelegt sei die Mittelpunktsgleichung einer
      Kugel\footnote{Gemeint ist damit stets die \emph{Kugelfl"ache},
      nicht etwa die massive Kugel} vom Radius $r$
      \begin{displaymath}
        x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
      \end{displaymath}
      Die explizite Funktionsgleichung lautet demnach
      \begin{displaymath}
        z = \left\{
              \begin{array}{l}
                \vspace{5pt}
                +\sqrt{r^2 - x^2 - y^2} \\
                -\sqrt{r^2 - x^2 - y^2}
              \end{array}
            \right.
      \end{displaymath}
      Die Aufspaltung in zwei Teilfunktionen ist hier notwendig, da die
      Eindeutigkeit der Zuordnung $z = f(x, y)$ gefordert ist. Geometrisch
      erh"alt man zwei Kugelhalbfl"achen. Die implizite Form lautet
      \begin{displaymath}
        F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - r^2 = 0,
      \end{displaymath}
      und eine Parameterform ist
      \begin{displaymath}
        \left.
          \begin{array}{l}
            x = r \cos \varphi \cos \psi \\
            y = r \sin \varphi \cos \psi \\
            z = r \sin \psi
          \end{array}
        \right\}
        \begin{array}{rrrrr}
            0 \!\!&\!\! \le \!\!&\!\! \varphi \!\!&\!\! < \!\!&\!\! 2\pi \\
          -\pi\!\!&\!\! \le \!\!&\!\! \psi    \!\!&\!\! < \!\!&\!\! \pi
        \end{array}
      \end{displaymath}
      Zum Beweis ihrer Richtigkeit werden die Parameter wie folgt eliminiert
      \begin{eqnarray*}
        x^2+y^2+z^2 & = & r^2 \cos^2\!\psi\ (\cos^2\!\varphi+\sin^2\!\varphi)
                        + r^2 \sin^2\!\psi \\
                    & = & r^2 (\cos^2\!\psi + \sin^2\!\psi) \\
        x^2+y^2+z^2 & = & r^2,
      \end{eqnarray*}
      man erh"alt also wieder die Mittelpunktsgleichung.

      Aus der obigen Paramterdarstellung ist die Vektorgleichung der Kugel
      sofort angebbar.
      \begin{displaymath}
        \vec r (\varphi, \psi) = (r \cos \varphi \cos \psi)\ \vec i
                               + (r \sin \varphi \cos \psi)\ \vec j
                               + (r \sin \psi)\ \vec k
      \end{displaymath}
      L"auft $\varphi$ von $0$ bis $2\pi$ und unabh"angig davon $\psi$ von
      $-\pi$ bis $\pi$, so "uberstreicht die Vektorspitze von
      $\vec r (\varphi, \psi)$ die gesamte Kugeloberfl"ache.

    \subsection{Raumkurven}
      Der nichtleere Durchschnitt zweier Raumfl"achen hei"st \emph{Raumkurve}.
      Haben die Fl"achen die Gleichungen
      \begin{equation} \label{equation:equ1}
        \begin{array}{rcl}
          F(x, y, z) & = & 0 \\
          G(x, y, z) & = & 0,
        \end{array}
      \end{equation}
      so liegt ein Punkt $P(x_0, y_0, z_0)$ genau dann auf der Raumkurve,
      wenn seine Koordinaten sowohl die Gleichung $F(x_0, y_0, z_0) = 0$ als
      auch die Gleichung $G(x_0, y_0, z_0) = 0$ erf"ullen. Das hei"st aber,
      da"s das Gleichungssystem (\ref{equation:equ1}) eine Darstellung der
      Raumkurve ist. Setzt man $x$ als Funktion eines Parameters $t$
      \begin{displaymath}
        x = x(t)
      \end{displaymath}
      in die beiden Fl"achengleichungen ein, so erh"alt man
      \begin{eqnarray*}
        F(x(t), y, z) & = & 0 \\
        G(x(t), y, z) & = & 0,
      \end{eqnarray*}
      also ein Gleichungssystem, mit dem man (unter gewissen Voraussetzungen)
      $y$ und $z$ als Funktionen von $t$ ausdr"ucken kann. Insgesamt erh"alt
      man also folgende \emph{Parameterform} der Raumkurve.
      \begin{eqnarray*}
        x & = & x(t) \\
        y & = & y(t) \\
        z & = & z(t)
      \end{eqnarray*}
      In vektorieller Form lautet die Gleichung der Raumkurve also
      \begin{displaymath}
        \vec r(t) = x(t)\ \vec i + y(t)\ \vec j + z(t)\ \vec k.
      \end{displaymath}
      In dieser Form wird die Raumkurve auch als \emph{Vektorfunktion} der
      skalaren Ver\-"anderlichen $t$ bezeichnet.

    \subsection{Partielle Ableitungen}
      Die Differentialrechnung bei Funktionen von zwei unabh"angigen
      Ver"anderlichen wird grunds"atzlich zur"uckgef"uhrt auf die der
      Funktionen einer Ver"anderlichen, indem man jeweils nur nach
      einer Ver"anderlichen ableitet und die andere Ver"an\-derliche
      konstant h"alt. S"amtliche Ableitungsregeln bleiben dabei bestehen,
      lediglich die Bezeichnungsweisen sind etwas anders.

      \bigskip
      \tbf{Definition.} Der Grenzwert
      \begin{displaymath}
        \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}
        = f_x(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}
        = \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)
      \end{displaymath}
      hei"st \emph{partielle Ableitung} bzw.~\emph{partieller
      Differentialquotient} der expliziten Funktion $z = f(x,y)$
      nach $x$.

      \bigskip
      \noin{Der Grenzwert}
      \begin{displaymath}
        \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}
        = f_y(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}
        = \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)
      \end{displaymath}
      hei"st \emph{partielle Ableitung} bzw.~\emph{partieller
      Differentialquotient} der expliziten Funktion $z = f(x,y)$
      nach $y$.
      \bigskip

      Formal wird die partielle Ableitung nach $x$ wie die gew"ohnliche
      Ableitung nach $x$ ausgef"uhrt, nur wird beim Ableiten $y$ wie
      eine Konstante behandelt. Entsprechend ist bei der partiellen
      Ableitung nach $y$ die Variable $x$ wie eine Konstante zu behandeln.
      Das geschwungene $\partial$ weist ausdr"ucklich auf partielle
      Differentation hin.

      \bigskip
      \tbf{Beispiel.} Gegeben sei die Funktion $f(x, y)$, man bestimme die
      partiellen Ableitungen nach $x$ und nach $y$. Man erh"alt
      \begin{eqnarray*}
        f(x, y) & = & x^2 - xy^3 - \sqrt{x+y} \\
        \frac{\partial f}{\partial x} & = & 2 x - y^3 -\frac{1}{2\sqrt{x+y}}\\
        \frac{\partial f}{\partial y} & = & - 3 x y^2 - \frac{1}{2\sqrt{x+y}}
      \end{eqnarray*}

    \subsection{Ableitungen von Vektorfunktionen}
      Gegeben sei eine Vektorfunktion der skalaren Ver"anderlichen $t$
      \begin{equation} \label{equation:equ2}
        \vec r(t) = x(t)\ \vec i + y(t)\ \vec j + z(t)\ \vec k
      \end{equation}
      mit den orthogonalen Einheitsvektoren $\vec i,\ \vec j,\ \vec k$ in
      Richtung der drei Koordinatenachsen. Bildet man den Differenzenvektor
      \begin{eqnarray*}
        \vec r(t+h) - \vec r(t) & = & [x(t+h)-x(t)]\ \vec i +
                                      [y(t+h)-y(t)]\ \vec j + {} \\
                                &   & [z(t+h)-z(t)]\ \vec k
      \end{eqnarray*}
      und anschlie"send den Grenzwert des vektoriellen Differenzenquotienten
      \begin{eqnarray*}
        \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\vec r(t+h) - \vec r(t)}{h} & = &
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x(t+h) - x(t)}{h}\ \vec i +
            \lim_{h \rightarrow 0} \frac{y(t+h) - y(t)}{h}\ \vec j + {} \\
        & & \lim_{h \rightarrow 0} \frac{z(t+h) - z(t)}{h}\ \vec k,
      \end{eqnarray*}
      so schreibt man im Falle der Existenz der drei Grenzwerte daf"ur
      \begin{displaymath}
        \frac{\ud  \vec r}{\ud  t} =
        \dot{\vec r}(t) = \dot{x}(t)\ \vec i +
                          \dot{y}(t)\ \vec j +
                          \dot{z}(t)\ \vec k.
      \end{displaymath}
      Anschaulich hat $\dot{\vec r}(t)$ die Richtung der Tangente an die
      Raumkurve (\ref{equation:equ2}).
      Analog erh"alt man f"ur die zweite Ableitung der Vektorfunktion
      \begin{displaymath}
        \frac{\ud ^2 \vec r}{\ud  t^2} =
        \ddot{\vec r}(t) = \ddot{x}(t)\ \vec i +
                           \ddot{y}(t)\ \vec j +
                           \ddot{z}(t)\ \vec k.
      \end{displaymath}

      \bigskip
      \tbf{Anwendungen in der Physik.} Deutet man den Parameter $t$ als
      Zeit, so stellt $\vec r = \vec r(t)$ die \emph{Vektorgleichung}
      f"ur die Bahn eines bewegten Objektes im Raum dar. Jedem Wert von $t$
      wird ein Raumpunkt eindeutig zugeordnet. Hierbei spielen die Begriffe
      Geschwindigkeit und Beschleunigung eine besondere Rolle.

      \bigskip
      \tbf{Definition.} Die Ableitung der Bahn
      \begin{displaymath}
        \vec r(t) = x(t)\ \vec i + y(t)\ \vec j + z(t)\ \vec k
      \end{displaymath}
      nach der Zeit
      \begin{displaymath}
        \vec v(t) := \frac{\ud  \vec r(t)}{\ud t}
                   = \dot{\vec r}(t)
      \end{displaymath}
      hei"st \emph{Geschwindigkeitsvektor}, sein Betrag
      \begin{displaymath}
        |\vec v(t)| = |\dot{\vec r}(t)|
                    = \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2 + \dot{z}(t)^2}
      \end{displaymath}
      wird \emph{Bahngeschwindigkeit} genannt.

      \bigskip
      \tbf{Definition.} Die zweite Ableitung der Bahn
      \begin{displaymath}
        \vec r(t) = x(t)\ \vec i + y(t)\ \vec j + z(t)\ \vec k
      \end{displaymath}
      nach der Zeit
      \begin{displaymath}
        \vec a(t) := \frac{\ud ^2 \vec r(t)}{\ud t^2}
                   = \ddot{\vec r}(t)
      \end{displaymath}
      hei"st \emph{Beschleunigungsvektor}, sein Betrag
      \begin{displaymath}
        |\vec a(t)| = |\ddot{\vec r}(t)|
                    = \sqrt{\ddot{x}(t)^2 + \ddot{y}(t)^2 + \ddot{z}(t)^2}
      \end{displaymath}
      wird \emph{Bahnbeschleunigung} genannt.

   \section{Vektoranalysis}
     \subsection{Skalare Felder}
       \tbf{Definition.} Ein \emph{skalares Feld} ist eine Funktion, die
       jedem Punkt $P$ eines Teilbereiches \mbf{G} des Raumes eine skalare
       Gr"o"se, d.h.~eine Zahl, zuordnet. Andere Bezeichnungen sind
       \emph{Ortsfunktion} und \emph{Potentialfunktion}.

       Beispiele sind das Temperaturfeld oder das Dichtefeld in einem
       inhomogenen Medium.

       Ist ein skalares Feld nur f"ur die Punkte einer Ebene definiert,
       so hei"st es auch \emph{ebenes skalares Feld}.

       Das skalare Feld bezeichnet man als \emph{zentrales Feld} oder
       \emph{Kugelfeld} bzgl.~$P_0$, wenn der Wert der skalaren Gr"o"se
       $U$ im Punkt $P$ nur vom Abstand  der Punkte $P$ und $P_0$ abh"angt.
       Das skalare Feld $U(x, y, z) = a(x^2 + y^2 + z^2)^{-1}$ der
       Beleuchtungsst"arke bei einer punktf"ormigen Lichtquelle in
       $P_0(0, 0, 0)$ ist beispielsweise ein zentrales Feld bzgl.~$P_0$.

       Das skalare Feld hei"st \emph{axiales} oder \emph{zylindrisches Feld},
       wenn $U$ f"ur alle Punkte gleiche Werte annimmt, die von einer
       Geraden, die man als \emph{Feldachse} bezeichnet, gleiche Abst"ande
       haben.

       Die folgende "Ubersicht fa"st die unterschiedlichen Schreibweisen
       f"ur skalare Felder zusammen.

       \bigskip
       \begin{tabular}{|l|c|l|}
         \hline
         Verwendetes Koordinatensystem & Schreibweise & Anwendung \\
         \hline
         Kartesische Koordinaten & $U = f(x, y, z)$   & beliebige Felder \\
         Zylinderkoordinaten & $U = f(r, \varphi, z)$ & axiale Felder \\
         Kugelkoordinaten & $U = f(r, \varphi, \psi)$ & Zentralfelder \\
         \hline
       \end{tabular}
       \bigskip

       \tbf{Definition.} Alle Punkte $P$ von \mbf{G}, f"ur die $U$ stets
       den gleichen Wert $c$ hat, bilden f"ur das skalare Feld eine
       \emph{Niveaufl"ache} und f"ur ein ebenes Feld eine \emph{Niveaulinie}.
       Die Gleichung der Niveaufl"ache hat die Form $f(x, y, z) = c$,
       $f(r, \varphi, z) = c$ oder $f(r, \varphi, \psi) = c$. F"ur
       verschiedene Werte von $c$ ergeben sich verschiedene Niveaufl"achen.
       Durch jeden Punkt von \mbf{G} geht genau eine Niveaufl"ache hindurch.

       In geographischen Karten sind z.B.~die Linien gleicher H"ohe "uber
       dem Meeresspiegel oder die Linien gleicher Temperatur Niveaulinien.
       Die Niveaufl"achen eines Zentralfeldes bzgl.~$P_0$ sind konzentrische
       Kugeln um $P_0$ und die Niveaufl"a\-chen eines axialen Feldes sind
       Zylinder mit der Feldachse als Zylinderachse.

       \bigskip
       \tbf{Beispiel.} Gegeben sei das skalare Feld
       \begin{displaymath}
         U(x, y, z) = 6x^2 + 3y^2 + 2z^2,
       \end{displaymath}
       gesucht ist die Niveaufl"ache f"ur ein beliebiges $c \in \mathbf{R}$.
       Man erh"alt
       \begin{eqnarray*}
         6x^2 + 3y^2 + 2z^2 & = & c \\
         \frac{x^2}{\frac{c}{6}}+\frac{y^2}{\frac{c}{3}}+
         \frac{z^2}{\frac{c}{2}} & = & 1,
       \end{eqnarray*}
       also die Gleichung eines Ellipsoides f"ur $c > 0$, f"ur $c = 0$
       schrumpft die Niveaufl"ache auf den Punkt $P(0, 0, 0)$ zusammen,
       und f"ur $c < 0$ gibt es keine Niveaufl"achen.

     \subsection{Vektorfelder}
       \tbf{Definition.} Ein \emph{Vektorfeld} ist eine Funktion, die
       jedem Punkt $P$ eines Teilbereiches \mbf{G} des Raumes einen
       Vektor zuordnet, daf"ur wird folgende Schreibweise verwendet:
       \begin{displaymath}
         \vec V(x, y, z) = v_x(x, y, z)\ \vec i +
                           v_y(x, y, z)\ \vec j +
                           v_z(x, y, z)\ \vec k,
       \end{displaymath}
       dabei sind $v_x$, $v_y$ und $v_z$ skalare Felder.

       Beispiele f"ur Vektorfelder sind das Geschwindigkeitfeld der
       Teilchen einer str"omenden Fl"ussigkeit oder ein Kraftfeld.

       Ist das Vektorfeld nur f"ur die Punkte einer Ebene definiert und
       liegen die vektoriellen Gr"o"sen $\vec V(P)$ auch in dieser Ebene,
       so bezeichnet man das Vektorfeld auch \emph{ebenes Vektorfeld}.
       Ein Vektorfeld hei"st \emph{zentrales Vektorfeld}, wenn alle Vektoren
       $\vec V(P)$ auf Geraden liegen, die durch einen festen Punkt $P_0$,
       das Zentrum, gehen. Ein zentrales Vektorfeld besitzt die Darstellung
       \begin{displaymath}
         \vec V(\vec r) = f(\vec r) \frac{\vec r}{|\vec r|}\ \textrm{mit }
         \vec r = \overrightarrow{P_0P}.
       \end{displaymath}
       H"angt $f(\vec r)$ nur von $|\vec r|$ ab, so spricht man von einem
       sph"arischen Vektorfeld $\vec V = f(r) (\vec r / r)$ mit
       $r = |\vec r|$.
       Beispielsweise sind das \emph{Newtonsche Gravitationfeld} und das
       \emph{Coulombfeld} $\vec V = (c/r^2) (\vec r / r)$ sph"arische
       Vektorfelder.

       \bigskip
       \tbf{Definition.} Ein \emph{ver"anderliches Vektorfeld} ist ein
       Vektorfeld, das zus"atzlich zum Raumpunkt $P$ auch noch von der
       Zeit $t$ abh"angt. Es besitzt folgende Form:
       \begin{displaymath}
         \vec V(x, y, z, t) = u(x, y, z, t)\ \vec i +
                              v(x, y, z, t)\ \vec j +
                              w(x, y, z, t)\ \vec k.
       \end{displaymath}
       Die partielle Ableitung eines Vektorfeldes nach $x$ wird definiert
       durch
       \begin{eqnarray*}
         \frac{\partial \vec V}{\partial x} & = & \lim_{h \rightarrow 0}
           \frac{\vec V(x+h,y,z,t)-\vec V(x,y,z,t)}{h} \\
         \frac{\partial \vec V}{\partial x} & = &
           \frac{\partial u}{\partial x}\ \vec i +
           \frac{\partial v}{\partial x}\ \vec j +
           \frac{\partial w}{\partial x}\ \vec k
       \end{eqnarray*}
       Analog verf"ahrt man f"ur die partiellen Ableitungen von $\vec V$
       nach $y$, $z$ und $t$.

       \bigskip
       \tbf{Beispiel.} Nach dem Coulombschen Gesetz gilt f"ur die
       Kraft, mit der sich zwei entgegengesetzte Ladungen $Q_1$ und
       $Q_2$ anziehen
       \begin{displaymath}
         \vec F(\vec r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}
                          \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \frac{\vec r}{r}.
       \end{displaymath}
       Fa"st man die Konstanten zusammen, so erh"alt man ein Vektorfeld
       der Form
       \begin{displaymath}
         \vec F(\vec r) = \frac{c}{r^3} \vec r\ \textrm{mit }
         c = \frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}.
       \end{displaymath}
       Befindet sich die Ladung $Q_1$ im Ursprung, so gilt
       \begin{displaymath}
         r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
       \end{displaymath}
       Somit erh"alt man f"ur das Vektorfeld $\vec F$ und die partielle
       Ableitung nach $x$ folgende Ausdr"ucke:
       \begin{eqnarray*}
         \vec F(\vec r) & = & \frac{c}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\ \vec r
                        = \frac{c}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\
                          (x\ \vec i + y\ \vec j + z\ \vec k) \\
         \vec F(\vec r) & = & \frac{cx}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\ \vec i +
                              \frac{cy}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\ \vec j +
                              \frac{cz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}\ \vec k \\
         \frac{\partial \vec F}{\partial x} & = &
           -\frac{2x^2-y^2-z^2}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\ \vec i
           -\frac{3cxy}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\ \vec j
           -\frac{3cxz}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{5}{2}}\ \vec k
       \end{eqnarray*}

     \subsection{Gradient eines skalaren Feldes} \label{subsection:Gradient}
       \tbf{Definition.} Der \emph{Gradient} $\grad U$ eines skalaren Feldes
       $U(x, y, z)$ bzw.~$U(\vec r)$ ist das Vektorfeld, das jedem Punkt
       des skalaren Feldes $U$ einen Vektor in Richtung gr"o"ster
       Funktionszunahme zuordnet, der senkrecht auf den Niveaufl"achen steht.
       Dem skalaren Feld $U(\vec r)$ wird das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(\vec r) = \grad U(\vec r)
       \end{displaymath}
       zugeordnet (gilt nicht umgekehrt). In kartesischen Koordinaten gilt
       somit
       \begin{displaymath}
         \grad U = \frac{\partial U}{\partial x}\ \vec i +
                   \frac{\partial U}{\partial y}\ \vec j +
                   \frac{\partial U}{\partial z}\ \vec k.
       \end{displaymath}
       Der Definitionsbereich $D(\grad U)$ wird gebildet durch alle
       Punkte $\vec r$ des Raumes, in denen $U(\vec r)$ differenzierbar ist.

       Der Gradient besitzt stets die Richtung der Normalen an die
       Niveaufl"ache und geht durch den gegebenen Punkt. Seine Richung f"allt
       mit der des schnellsten Anwachsens der Funktion $U(x, y, z)$ zusammen,
       und sein Betrag gibt die Geschwindigkeit dieses Anwachsens an.

       \bigskip
       \tbf{Definition.} Der \emph{Hamiltonsche Operator} $\nabla$
       (sprich: nabla\footnote{\emph{Nabla} ist ein hebr"aisches Wort und
       bezeichnet ein Harfeninstrument von der Form $\nabla$.}) bezeichnet
       den folgenden symbolischen Vektor
       \begin{displaymath}
         \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\ \vec i +
                  \frac{\partial}{\partial y}\ \vec j +
                  \frac{\partial}{\partial z}\ \vec k.
       \end{displaymath}
       Rechnet man mit $\nabla$ wie mit einem Vektor, so kann man den
       Gradienten eines skalaren Feldes $U$ unter Benutzung des
       Skalarproduktes folgenderma"sen ausdr"ucken:
       \begin{displaymath}
         \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\ \vec i +
                    \frac{\partial U}{\partial y}\ \vec j +
                    \frac{\partial U}{\partial z}\ \vec k
                  = \grad U.
       \end{displaymath}

       \bigskip
       \tbf{Beispiel.} Gegeben sei das skalare Feld
       \begin{displaymath}
         U(x, y, z) = 6x^2 + 3y^2 - 2xz^2,
       \end{displaymath}
       gesucht ist ein allgemeiner Ausdruck f"ur den Gradienten
       $\grad U(x, y, z)$ in einem beliebigen Punkt $P(x, y, z)$ und
       der konkrete Vektor im Punkt $P_0(1, -1, 4)$.

       \noin{Man erh"alt}
       \begin{eqnarray*}
         \grad U(x,y,z) & = & \frac{\partial U(x,y,z)}{\partial x}\ \vec i +
                              \frac{\partial U(x,y,z)}{\partial y}\ \vec j +
                              \frac{\partial U(x,y,z)}{\partial z}\ \vec k \\
           & = & \frac{\partial (6x^2 + 3y^2 - 2xz^2)}{\partial x}\ \vec i +
                 \frac{\partial (6x^2 + 3y^2 - 2xz^2)}{\partial y}\ \vec j+\\
           &   & \frac{\partial (6x^2 + 3y^2 - 2xz^2)}{\partial z}\ \vec k\\
         \grad U(x,y,z) & = & \mvec{12x-2z^2}{6y}{-4xz}
       \end{eqnarray*}
       Somit gilt
       \begin{displaymath}
         \grad U(1,-1,4) = \mvec{\hfill -20}{\hfill -6}{\hfill -16}.
       \end{displaymath}
                                        
     \subsection{Richtungsableitung eines skalaren Feldes}
       \tbf{Definition.} Die "Anderung, die ein skalares Feld $U(\vec r)$ in
       eine beliebige Richtung $\vec c = c_x\vec i + c_y\vec j + c_z\vec k$
       erf"ahrt, nennt man die \emph{Richtungsableitung} der Funktion
       $U$ in Richtung von $\vec c$ im Punkt $\vec r$.

       \noin{Man} erh"alt als "Anderung der Funktion $U(\vec r)$ in Richtung
       $\vec c$
       \begin{displaymath}
         \frac{\partial U(\vec r)}{\partial \vec c}
         = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{U(\vec r + h\ \vec c) - U(\vec r)}{h}
         = \frac{\partial U(\vec r)}{\partial x}\ c_x +
           \frac{\partial U(\vec r)}{\partial y}\ c_y +
           \frac{\partial U(\vec r)}{\partial z}\ c_z,
       \end{displaymath}
       diese l"a"st sich als Skalarprodukt $\grad U \cdot \vec c$ auffassen.
       Ist $\vec c\ \!^0 = \vec c / |\vec c\ \!|$ der zu $\vec c$ geh"orige
       Einheitsvektor, so gibt
       \begin{displaymath}
         \frac{\partial U(\vec r)}{\partial \vec c\ \!^0}
           = \grad U \cdot \vec c\ \!^0
           = |\grad U| \cos \angle (\grad U, \vec c\ \!^0)
       \end{displaymath}
       die \emph{Geschwindigkeit} an, mit der die Funktion $U$ in Richtung
       von $\vec c\ \!^0$ im Punkt $\vec r$ w"achst. Daher ist $|\grad U|$ um
       so gr"o"ser, je dichter in der Umgebung des Punktes $\vec r$ die
       Niveaufl"achen $U = c_0,\ U = c_0 + h,\ U = c_0 + 2h,\ \ldots$ liegen.
       In den Punkten, in denen $U$ ein relatives Maximum oder Minimum hat,
       arten die Niveaufl"achen zu einem Punkt aus, und es gilt in diesen
       Punkten $\grad U = 0$.

       \bigskip
       \tbf{Ergebnis.} Die Richtungsableitung des skalaren Feldes $U$ in
       Richtung eines Einheitsvektors $\vec c\ \!^0$ im Punkt $\vec r$ ist
       \begin{displaymath}
         \frac{\partial U(\vec r)}{\partial \vec c\ \!^0}
         = \grad U \cdot \vec c\ \!^0.
       \end{displaymath}

       \bigskip
       \tbf{Beispiel.} Gegeben sei das skalare Feld aus dem letzten Beispiel,
       von dem der Gradient schon berechnet wurde.
       \begin{eqnarray*}
         U(x, y, z) & = & 6x^2 + 3y^2 - 2xz^2 \\
         \grad U(x, y, z) & = & (12x-2z^2)\ \vec i+ 6y\ \vec j - 4xz\ \vec k
       \end{eqnarray*}
       Gesucht ist die Richtungsableitung dieses skalaren Feldes in Richtung
       des Einheitsvektors $\vec c\ \!^0 = \frac{1}{\sqrt{3}}\ \vec i
       -\frac{1}{\sqrt{3}}\ \vec j + \frac{1}{\sqrt{3}}\ \vec k$ im
       Punkt $P(1,-1,4)$, $r = \overrightarrow{OP}$.

       \noin{Man erh"alt}
       \begin{eqnarray*}
         \frac{\partial U(\vec r)}{\partial \vec c\ \!^0}
         & = & \grad U \cdot \vec c\ \!^0 \\
         & = & \mvec{\hfill -20}{\hfill -6}{\hfill -16}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}
               \mvec{\hfill 1}{\hfill -1}{\hfill 1} \\
         & = & \frac{1}{\sqrt{3}} (-20 + 6 - 16) \\
         \frac{\partial U(\vec r)}{\partial \vec c\ \!^0}
         & = & -\frac{30}{\sqrt{3}}
       \end{eqnarray*}

     \subsection{Divergenz eines Vektorfeldes}
       \tbf{Definition.} Ist im kartesischen Koordinatensystem das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(\vec r) = u(x, y, z)\ \vec i +
                          v(x, y, z)\ \vec j +
                          w(x, y, z)\ \vec k
       \end{displaymath}
       gegeben, so nennt man das skalare Feld
       \begin{displaymath}
         \div \vec V = U(x, y, z) = \frac{\partial u}{\partial x} +
                                    \frac{\partial v}{\partial y} +
                                    \frac{\partial w}{\partial z}
                                  = \nabla \vec V
       \end{displaymath}
       die \emph{Divergenz} des Vektorfeldes $\vec V(\vec r)$.

       \bigskip
       \tbf{Physikalische Deutung der Divergenz.} Deutet man $\vec V(x, y, z)$
       als Geschwindigkeitsfeld einer station"aren str"omenden Fl"ussigkeit
       mit der Dichte $\varrho = \varrho(x, y, z)$, d.h.~mit einer Str"omung,
       die nicht explizit von der Zeit abh"angt, so ergibt sich folgende
       anschauliche Bedeutung der Divergenz: Die $x$-Komponente $u\ \vec i$
       von $\vec V$ gibt den in der Zeiteinheit von einem
       Fl"ussigkeitsteilchen zur"uckgelegten Weg an. Denkt man sich ein
       quaderf"ormiges Volumenelement mit achsenparallelen Kanten, so tritt
       durch die senkrecht zur $x$-Achse stehenden Seitenfl"ache
       $\ud A_1 = \ud y\ \ud z$ in der Zeiteinheit das
       Fl"ussigkeitsvolumen $u\ \ud A_1 = u\ \ud y\ \ud z$
       und damit die Masse $\varrho\ u\ \ud y\ \ud z$ in das
       Volumenelement ein. Bezeichnet man f"ur $x + dx$ die senkrecht
       zur $x$-Achse stehende Seitenfl"ache des Volumenelements mit
       $\ud A_2$, so tritt durch die Fl"ache
       $\ud A_2 = \ud y\ \ud z$ die Masse
       \begin{displaymath}
         \varrho(x+dx,y,z)\ u(x+dx,y,z)\ \ud y\ \ud z
         = \left[\varrho\ u(x,y,z) +
                 \frac{\partial (\varrho u)}{\partial x} \ud x
           \right] \ud y\ \ud z
       \end{displaymath}
       wieder aus. Die Differenz
       \begin{displaymath}
         \frac{\partial (\varrho u)}{\partial x}\ \ud x\
         \ud y\ \ud z
       \end{displaymath}
       ergibt den Masseverlust durch die Fl"achen $\ud A_1$ und
       $\ud A_2$. Wenn man die anderen Fl"achenpaare ebenso
       ber"ucksichtigt, erh"alt man den gesamten Masseverlust des
       Volumenelements:
       \begin{displaymath}
         \left(\frac{\partial (\varrho u)}{\partial x} +
               \frac{\partial (\varrho v)}{\partial y} +
               \frac{\partial (\varrho w)}{\partial z}
         \right)\ \ud x\ \ud y\ \ud z
         = \div (\varrho \vec V)\ \ud x\ \ud y\ \ud z
       \end{displaymath}
       Die Divergenz gibt somit den Masseverlust in der Volumen- und
       Zeiteinheit an, deshalb bezeichnet man sie oft auch als
       \emph{Ergiebigkeit}.

       Flie"st ebensoviel Masse zu wie ab, so ist $\div \vec V = 0$,
       das Vektorfeld hei"st in diesen Punkten \emph{quellenfrei}. Punkte
       des Vektorfeldes $\vec V$ mit $\div \vec V > 0$ hei"sen \emph{Quellen}
       und solche mit $\div \vec V < 0$ \emph{Senken}.

       Das folgende Raumintegral bezeichnet die \emph{Ergiebigkeit}
       der im K"orper $K$ enthaltenen Quellen.
       \begin{displaymath}
         \int\!\!\! \int\!\!\! \int_K \div \vec V\ \ud x\ \ud y\ \ud z
       \end{displaymath}

       \tbf{Ergebnis.} Die Divergenz eines Vektorfeldes $\vec V(P)$ ist ein
       skalares Feld, das die Dichte der Quellen in jedem Punkt angibt.

       Man unterscheidet folgende Punkte des Vektorfeldes:
       \begin{displaymath}
         \div \vec V \left\{\begin{array}{ll}
                            < 0 & \textrm{Senken} \\
                            = 0 & \textrm{quellenfreies Feld} \\
                            > 0 & \textrm{Quellen}
                            \end{array}
                     \right.
       \end{displaymath}

       \bigskip
       \tbf{Beispiel 1.} Gegeben sei das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(\vec r) = \frac{\vec r}{r^3}\ \textrm{mit }
         r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
       \end{displaymath}
       F"ur die Divergenz dieses Vektorfeldes erh"alt man
       \begin{eqnarray*}
         \vec V & = & \frac{x\ \vec i+y\ \vec j+z\ \vec k}
                           {(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}} \\
         \div \vec V & = & \frac{\partial x(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}
                                {\partial x} +
                           \frac{\partial y(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}
                                {\partial y} + \\
                     &   & \frac{\partial z(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}
                                {\partial z} \\
                     & = & (-2x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}} + \\
                     &   & (x^2-2y^2+z^2)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}} + \\
                     &   & (x^2+y^2-2z^2)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}} \\
                     & = & (0x^2+0y^2+0z^2)(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{5}{2}} \\
         \div \vec V & = & 0
       \end{eqnarray*}
       Somit ist dieses Vektorfeld in ganz \mbf{R^3} quellenfrei.

       \bigskip
       \tbf{Beispiel 2.} Auch Verkn"upfungen der Divergenz und des Gradienten
       sind m"oglich, wie die folgende Rechnung zeigt.
       \begin{eqnarray*}
         &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!               % better idea ?
         \div \grad (x^2+y^2+z^2) \\
         &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
         = \div \left( \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial x}\ \vec i +
                       \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial y}\ \vec j +
                       \frac{\partial (x^2+y^2+z^2)}{\partial z}\ \vec k
                \right) \\
         &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
         = \div (2x\ \vec i + 2y\ \vec j + 2z\ \vec k) \\
         &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
         = \frac{\partial (2x)}{\partial x} +
           \frac{\partial (2y)}{\partial y} +
           \frac{\partial (2z)}{\partial z} \\
         &&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
         = 6
       \end{eqnarray*}

     \subsection{Rotation eines Vektorfeldes}
       \tbf{Definition.} Ist das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(x, y, z) = u(x, y, z)\ \vec i +
                           v(x, y, z)\ \vec j +
                           w(x, y, z)\ \vec k
       \end{displaymath}
       gegeben, so bezeichnet man das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec R(x, y, z) =
           \left(\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}
           \right)\vec i +
           \left(\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}
           \right)\vec j +
           \left(\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}
           \right)\vec k
       \end{displaymath}
       als \emph{Rotation} des Vektorfeldes $\vec V(x, y, z)$ und schreibt
       daf"ur
       \begin{displaymath}
         \vec R = \rot \vec V.
       \end{displaymath}
       Unter Benutzung des symbolischen Hamiltonoperators kann man die
       Rotation eines Vektorfeldes auch mittels des Kreuzproduktes
       ausdr"ucken:
       \begin{displaymath}
         \rot \vec V = \nabla \times \vec V.
       \end{displaymath}

       \tbf{Beispiel.} Das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(x, y, z) = 2xy\ \vec i+(\textrm{e}^x + z)\ \vec j + 2\ \vec k
       \end{displaymath}
       besitzt die Rotation
       \begin{eqnarray*}
         \rot \vec V & = &
           \left(\frac{\partial (2)}{\partial y} -
                 \frac{\partial (\textrm{e}^x + z)}{\partial z}
           \right)\vec i +
           \left(\frac{\partial (2xy)}{\partial z} -
                 \frac{\partial (2)}{\partial x}
           \right)\vec j + \\
         &&\left(\frac{\partial (\textrm{e}^x + z)}{\partial x} -
                 \frac{\partial (2xy)}{\partial y}
           \right)\vec k \\
         & = &
           (0 - 1)\ \vec i + (0 - 0)\ \vec j + (\textrm{e}^x - 2x)\ \vec k \\
         \rot \vec V & = & -\vec i + (\textrm{e}^x - 2x)\ \vec k
       \end{eqnarray*}

     \subsection{Konservative Vektorfelder}
       Im Abschnitt \ref{subsection:Gradient} wurde mit Hilfe des Gradienten
       einem skalaren Feld $U(\vec r)$ ein Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(\vec r) = \grad U(\vec r)
       \end{displaymath}
       zugeordnet. Umgekehrt existiert aber nicht zu jedem Vektorfeld
       $\vec V(\vec r)$ ein skalares Feld $U(\vec r)$ mit $\vec V = \grad U$.

       \medskip
       \tbf{Definition.} Vektorfelder $\vec V$, die die Eigenschaft haben,
       da"s es ein skalares Feld $U(\vec r)$ mit $\vec V = \grad U$ gibt,
       hei"sen \emph{konservativ}. $\vec V$ bezeichnet man dann als
       \emph{Potentialvektor} und die Funktion $U$ als \emph{Potential} des
       Vektorfeldes $\vec V$. Das Potential ist nur bis auf eine additive
       Konstante bestimmt.

       Ein gegebenes Vektorfeld $\vec V = u\vec i + v\vec j + w\vec k$ hat
       in einer Teilmenge $G$ von \mbf{R^3} dann und nur dann ein
       Potential $U$, wenn alle ersten partiellen Ableitungen von $\vec V$
       stetig sind und die folgenden \emph{Integrabilit"atsbedingungen}
       in $G$ erf"ullt sind.
       \begin{displaymath}
         \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x},\
         \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial z},\
         \frac{\partial v}{\partial z} = \frac{\partial w}{\partial y}
       \end{displaymath}
       Diese Integrabilit"atsbedingungen sind "aquivalent zu der Bedingung
       \begin{displaymath}
         \rot \vec V = 0,
       \end{displaymath}
       die besagt, da"s das Vektorfeld $\vec V$ \emph{wirbelfrei} ist.
       Wirbelfreie Vektorfelder sind also stets konservativ.

       Das Potential $U$ l"a"st sich mit Hilfe des folgenden Kurvenintegrals
       berechnen, das "uber einen beliebigen Weg, der $P_0$ und $P$
       verbindet, erstreckt wird.
       \begin{displaymath}
         U(P) = \int_{P_0 P} u\ \ud x + v\ \ud y + w\ \ud z
       \end{displaymath}

       \tbf{Ergebnis.} Ein Vektorfeld hei"st \emph{konservativ}, wenn das
       Integral
       \begin{displaymath}
         \int\limits_A^B \vec V\ \ud \vec r
       \end{displaymath}
       unabh"angig vom Weg $A \rightarrow B$ ist. Jedes Gradientenfeld
       ist konservativ. F"ur das Kurvenintegral gilt dann ($\vec r_A \le
       \vec r \le \vec r_B$):
       \begin{displaymath}
         \int_r \vec V\ \ud \vec r = \int_{AB} u\ \ud x + v\ \ud y + w\ \ud z
         = \int_{AB} \ud U = U(B) - U(A)
       \end{displaymath}

       \tbf{Beispiel.} Das Vektorfeld
       \begin{displaymath}
         \vec V(\vec r) = \frac{\vec r}{r^3}
       \end{displaymath}
       ist wirbelfrei, denn
       \begin{eqnarray*}
         \rot \vec V(\vec r) & = & \rot \frac{\vec r}{r^3} \\
         & = & \rot \frac{x\ \vec i + y\ \vec j + z\ \vec k}
                         {(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}} \\
         & = & \left(\frac{\partial z(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}{\partial y}
                   - \frac{\partial y(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}{\partial z}
               \right)\vec i + \\
         &   & \left(\frac{\partial x(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}{\partial z}
                   - \frac{\partial z(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}{\partial x}
               \right)\vec j + \\
         &   & \left(\frac{\partial y(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}{\partial x}
                   - \frac{\partial x(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}}{\partial y}
               \right)\vec k \\
         & = & 0\ \vec i + 0\ \vec j + 0\ \vec k \\
         \rot \vec V(\vec r) & = & 0.
       \end{eqnarray*}
       Dieses Vektorfeld ist in der Tat konservativ, denn mit
       \begin{displaymath}
         U = -\frac{1}{r}
       \end{displaymath}
       gilt
       \begin{displaymath}
         \grad U = \vec V.
       \end{displaymath}

     \subsection{Zusammenfassung} 
       Die folgende Tabelle f"a"st die drei betrachteten vektoranalytischen
       Operationen "ubersichtlich zusammen.

       \bigskip
       \begin{tabular}{|l|l|l|c|}
         \hline
         Operation & Feld & Ergebnis & Symbol \\
         \hline
         Gradient  & Skalares Feld \hfill $U$      &
           Vektorfeld    \hfill $\grad U$     & $\nabla U$ \\
         Divergenz & Vektorfeld    \hfill $\vec V$ &
           Skalares Feld \hfill $\div \vec V$ & $\nabla\vec V$\\
         Rotation  & Vektorfeld    \hfill $\vec V$ &
           Vektorfeld    \hfill $\rot \vec V$ & $\nabla\times\vec V$\\
         \hline
       \end{tabular}
       \bigskip

       \noin{Die folgenden Betrachtungen stellen weitere Begriffe der
       Vektoranalysis vor, sie sollen hier aber nur der Vollst"andigkeit
       halber erw"ahnt werden, eine ausf"uhrliche Behandlung ist
       nicht vorgesehen.}

       \medskip
       \tbf{Laplace-Operator.} F"uhrt man die Skalarmultiplikation des
       symbolischen Hamilton-Operators mit sich selbst aus, so erh"alt man
       den Laplace-Operator.
       \begin{displaymath}
         \Delta = \nabla \cdot \nabla
                = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +
                  \frac{\partial^2}{\partial y^2} +
                  \frac{\partial^2}{\partial z^2}
       \end{displaymath}
       Wendet man den Laplace-Operators auf beliebige skalare oder
       Vektorfelder an, so erh"alt man folgende Ausdr"ucke:
       \begin{eqnarray*}
         \Delta U         & = & \nabla^2 U = \div \grad U \\
         \Delta \vec V    & = & \grad \div \vec V - \rot \rot \vec V \\
         \div \rot \vec V & = & \nabla (\nabla \times \vec V) \\
         \rot \grad U     & = & \nabla \times (\nabla U) \\
         \rot \rot \vec V & = & \nabla \times (\nabla \times \vec V)
                          \ = \ \nabla(\nabla \vec V) - \Delta \vec V
       \end{eqnarray*}

       \tbf{Besondere Felder.} Die folgende Tabelle f"a"st wichtige Felder
       zusammen.

       \medskip
       \begin{tabular}{|l|l|}
         \hline
         $\div \rot \vec V = 0$ & quellenfreies Rotorfeld \\
         \hline
         $\rot \grad U = 0$     & wirbelfreies Gradientenfeld \\
                                & z.B.~$\vec E = \grad U$(Feldst"arke) \\
         \hline
       \end{tabular}

       \medskip
       \noin{Im quellenfreien Raum gilt die Laplace-Gleichung:
       $\div \grad U = \Delta U = 0$.}

       \noin{Im quellenbehafteten Raum gilt die Poisson-Gleichung:
       $\div \grad U = \Delta U = \rho$ mit der \emph{Quellendichte}
       $\rho = \rho(x, y, z)$.}

   % Literaturliste
   \begin{thebibliography}{9}
     \bibitem{Bartsch}
       Bartsch: \emph{Taschenbuch mathematischer Formeln}, Fachbuchverlag
       Leipzig--K"oln, 1994
     \bibitem{Analysis1}
       B"ohme: \emph{Analysis 1}, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1990
     \bibitem{MatheLexikon}
       Gellert, K"astner, Neuber: \emph{Lexikon der Mathematik},
       VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1990
     \bibitem{Kusmin}
       Kusmin, G"unther: \emph{Aufgabensammlung zur h"oheren Mathematik 1},
       Verlag Harri Deutsch, 1993
     \bibitem{Duden}
       Scheid: \emph{Sch"ulerduden: Die Mathematik II}, Dudenverlag Mannheim,
       Leipzig, Wien, Z"urich, 1991
   \end{thebibliography}

\end{document}
