Patrick Reichert

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Presentation: Alternating factor groups of Fuchsian triangle groups (April 2006)

Description: This document contain the presentation slides that were used for the talk at the workshop about Belyi Maps and Dessins on Riemann Surfaces in the begin of April in Frankfurt/Main. The presentation covers the following topics:

  • Existence theorems for alternating factor groups of Fuchsian triangle groups
  • Search algorithms for epimorphisms into alternating groups
  • Conjugacy of normal subgroups in PSL(2,R)

Keywords: Fuchsian triangle groups, alternating factor groups, conjugacy of normal subgroups in PSL(2,R)

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Main results of the diploma: Alternating factor groups of Fuchsian triangle groups (January 2006)

Description: This article is the english short version of the german diploma. The german full text can also be found on this website. Only the most important chapter is contained in this paper. It is the last chapter of the original document and it was corrected on several paragraphs.
Fuchsian triangle groups have a faithful representation in PSL(2, R). This article studies the existence of epimorphisms that are mapping Fuchsian triangle groups onto alternating groups. For two different epimorphisms it is interesting whether the kernels are conjugate in PSL(2, R).

Keywords: Fuchsian triangle groups, commensurator, normalizer, torsion free subgroups

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Diplomarbeit: Alternierende Faktorgruppen Fuchsscher Dreiecksgruppen (Dezember 2003)

Beschreibung: Diese Diplomarbeit behandelt eine Fragestellung aus einem Arbeitsgebiet, das erst in den letzten zwanzig Jahren entstanden ist und Querverbindungen zwischen Begriffen wie Uniformisierungstheorie, Fuchssche Gruppen, Riemannsche Flächen, Grothendiecks Dessins d'enfants (Kinderzeichnungen), Teichmüllerräume und sogar Inverse Galoistheorie herstellt.
Herausgegriffen wurde ein Problem, für welches Prof. J. Wolfart von der Johann-Wolfgang-Goethe-Universität Frankfurt/M. im Herbst 2001 meine Aufmerksamkeit weckte. Es sollte die Fragestellung untersucht werden, welche Fuchsschen Dreiecksgruppen alternierende Faktorgruppen besitzen.
Dabei stellte sich recht schnell heraus, dass die Untersuchungen in der Literatur zu dieser Fragestellung bisher vor allem Existenzaussagen lieferten, die für jede Fuchssche Gruppe beispielsweise die Existenz einer Schranke N garantieren, so dass für alle n > N stets ein Epimorphismus in die alternierende Gruppe An existiert.
Ganz außer Acht gelassen wurden dabei meist kleine Beispiele und weiterführende Fragestellungen dazu. In dieser Diplomarbeit werden Methoden entwickelt, die es erlauben, in Fuchsschen Dreiecksgruppen effizient zu rechnen. Weiterhin wird am Beispiel einer konkreten Dreiecksgruppe gezeigt, wie entschieden werden kann, ob die Kerne von Epimorphismen in dieselbe alternierende Gruppe in der Gruppe PSL(2, R) zueinander konjugiert sind. Diese Aufgabenstellung korrespondiert also mit dem Wunsch, zueinander nicht isomorphe Riemannsche Flächen mit derselben alternierenden Automorphismengruppe zu finden, die einen vorgegebenen Verzweigungstyp besitzen.
Im ersten Kapitel wird eine Einführung in diese Fragestellungen gegeben, außerdem ist eine ausführliche Literatursicht angefügt. Das zweite Kapitel zeigt allgemeine Eigenschaften der alternierenden Gruppen auf, die anschließend zur Entwicklung von Methoden verwendet werden, alternierende Faktorgruppen für eine vorgegebene Dreiecksgruppe zu finden.
Das dritte Kapitel ist das umfangreichste. Es wird eine Darstellung von Dreiecksgruppenelementen hergeleitet, die es ermöglicht, effizient Berechnungen auf dem Computer durchführen zu können. Im vierten Kapitel wird das Hauptresultat dieser Ausarbeitung bewiesen. Es wird die Existenz von zwei zueinander nicht isomorphen Riemannschen Flächen gezeigt, die beide mit Hilfe von Normalteilern der (3,5,5)-Dreiecksgruppe erzeugt werden und dieselbe Automorphismengruppe A5 besitzen.

Stichworte: Hyperbolische Geometrie, Arithmetische Dreiecksgruppen

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Anwendung linear-impliziter Zweischritt-Methoden auf differential-algebraische Testgleichungen (November 2001)

Beschreibung: Diese Ausarbeitung entstand im Rahmen des mathematischen Praktikums im Studiengang Diplom-Mathematik an der Martin-Luther-Universität Halle. Basierend auf dem vom Institut für Numerische Mathematik erstellten Programmpaket „ODETEST“ wurde das Lösungsverhalten verschiedener Differentialgleichungen getestet, die eine Forschungsgruppe des nationalen Forschungsinstitutes für Mathematik und Computerwissenschaft der Niederlande (CWI) zusammengestellt hat. Weiterhin war die Neuentwicklung eines Programmteils nötig, welcher die Umformulierung impliziter Differentialgleichungen in eine für das bestehende Programmpaket lösbare Form durchführte.

Stichworte: Numerische Lösung von Differentialgleichungen, Fortran-Programmpaket

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Ordnen und Reduzieren von Termen in mehreren Variablen (November 1998)

 

aus der Vortragsreihe „Gröbner Basen für polynomiale Ideale“ im Rahmen des Seminars „Symbolische Algorithmen“ von Prof. Rauber und Dr. Schenzel im Wintersemester 1998/99 an der MLU Halle/Wittenberg

Beschreibung: Gröbner Basen können beispielsweise zum Lösen von nichtlinearen Gleichungssystemen in mehreren Variablen benutzt werden. Dieser Vortrag stellt eine Einführung in die Vortragsreihe dar. Behandelt werden verschiedene Möglichkeiten der Ordnung von Termen und der Reduktion von Polynomen bezüglich mehrerer Reduktionspolynome.

Stichworte: Ideale, totale Ordnung von Termen, Algorithmen zur vollständigen Reduktion von Polynomen

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Die Folienvorlagen zum Vortrag sind erhältlich in folgenden Formaten:

 

Grundlagen der Vektoranalysis (Mai 1998)

 

Beschreibung: Dieser Artikel stellt grundlegende Aspekte der Vektoranalysis dar. Insbesondere werden skalare Felder und Vektorfelder, weiterhin der Gradient, die Divergenz sowie die Rotation eines Vektorfeldes betrachtet. Dabei wurde bewusst auf eine einfache mathematische Ausdrucksweise und eine einprägsame äußere Form geachtet.

Da die Vektoranalysis viele Anwendungen in der theoretischen Physik besitzt, wurde versucht, alle mathematischen Begriffe durch physikalische Sachverhalte zu verdeutlichen. Ausführlich durchgerechnete Beispiele runden den Artikel ab.

Stichworte: Raumkurven, Partielle Ableitungen, Ableitungen von Vektorfunktionen, skalare Felder, Vektorfelder, Gradient, Richtungsableitung, Divergenz, Rotation von Vektorfeldern, Konservative Vektorfelder

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Sicheres Bezahlen in elektronischen Datennetzen (Januar 1998)

Diese Arbeit entstand aus einem „Jugend forscht“ - Projekt zusammen mit Christoph Seidler.

Beschreibung: Zum sicheren Bezahlen in elektronischen Datennetzen existieren bis zum heutigen Zeitpunkt mehrere proprietäre Lösungsansätze (digicash, ecash), von denen sich aber keiner als Standard etablieren konnte.
Unser Lösungsansatz zeichnet sich gegenüber anderen Vorschlägen durch eine Zweiteilung aus, zum einen können Zahlungen nach dem Prinzip von Kreditkarten beziehungsweise Schecks geleistet werden, zum anderen aber auch mit sogenannten „elektronischen Münzen“ . Die Sicherheit des Kunden beim „kreditkartenbasierten“ Teil soll durch eine 1024-Bit-RSA- Verschlüsselung mit einigen zusätzlichen Sicherheitsmechanismen gewährleistet werden. Der „banknotenbasierte“ Teil gewährleistet eine konsequente Anonymität des Käufers, bei gleichzeitig hoher Sicherheit für Kunden, Bank und Händler. Unser Konzept simuliert also bildlich gesprochen eine elektronische Geldbörse, bei der wahlweise mit namentlich unterzeichneten Schecks oder mit Anonymität gewährleistenden Münzen bezahlt werden kann. Der Kunde soll sich gegenüber Händler und Bank durch einen geheimen Schlüssel identifizieren, sowie über seine Signatur verifizierbar sein. Auch Händler und Bank lassen sich über Signaturen identifizieren. Der geheime Schlüssel des Kunden soll auf einer Speicherchipkarte gespeichert werden, die von einem Trustcenter für den Kunden personalisiert wird.

Weitere Veröffentlichungen: Der zweiteilige Artikel „Zahlen mit Zahlen - Mathematische Algorithmen zum sicheren Bezahlen in elektronischen Datennetzen“ wurde in der mathematischen Zeitschrift „Die Wurzel“ in den Heften 12/1998 und 01/1999, sowie in der „Alpha“ in den Ausgaben 07/08 und  09/10(1998) veröffentlicht.

Stichworte: Elektronisches Geld, RSA-Algorithmus, Blinde Signaturen

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Sicheres Verschlüsseln mit asymmetrischen Verschlüsselungsalgorithmen (März 1997)

Diese Arbeit entstand aus einem „Jugend forscht“ - Projekt zusammen mit Christoph Seidler.

Beschreibung: Kryptologie, die Lehre vom Verschlüsseln und Entschlüsseln, galt lange Zeit lediglich als Domäne des Militärs. Im Zeitalter der globalen Kommunikation werden Verschlüsselungsverfahren aber auch für Privatpersonen immer interessanter, da das Interesse an einer gesicherten Kommunikation stetig wächst. Für den Einsatz in solchen globalen Kommunikationssytemen sind asymmetrische Verschlüsselungsalgorithmen wegen ihrer einfachen Schlüsselverwaltung bei einem hohen Maß an Sicherheit von großem Vorteil. Bei diesen Verfahren benutzt man zum Verschlüsseln und zum Entschlüsseln zwei verschiedene Schlüssel. Wir haben im Rahmen unserer Arbeit ein solches Ver- und Entschlüsselungssystem, basierend auf dem RSA- Algorithmus, in einem Programm für die Oberfläche MS Windows™ implementiert. Das Programm wurde im Hinblick auf die Geschwindigkeit beim Ver- und Entschlüsseln optimiert. Außerdem werden die verschlüsselten Nachrichten mit einer digitalen Unterschrift des Absenders versehen, was dem Empfänger eine Authentizitätsprüfung ermöglicht, die ebenfalls im Programm eingebunden ist.
In der vorliegenden Arbeit werden detailliert die mathematischen Funktionsweisen von asymmetrischen Verschlüsselungsalgorithmen erklärt und am Beispiel des RSA- Algorithmus demonstriert, außerdem wird das Programm und seine Funktionsweise ausführlich dokumentiert.Ebenso wird auf die theoretischen Grundlagen der digitalen Nachrichtensignaturen eingegangen.

Weitere Veröffentlichungen: In der mathematischen Zeitschrift „Die Wurzel“ wurde im Heft 09/1997 der Artikel „Rechnen mit großen natürlichen Zahlen am Beispiel der Implementation eines RSA-Kryptosystems“ über die verwendete Arithmetik großer natürlicher Zahlen veröffentlicht.

Stichworte: Arithmetik großer Zahlen, RSA-Algorithmus

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Beweis eines Satzes über algebraische Zahlen (April 1996)

Beschreibung: Diese Facharbeit wurde in der zehnten Klasse im April 1996 am Georg-Cantor-Gymnasium Halle eingereicht. Das Hauptresultat der Arbeit ist: Wenn cos x algebraisch ist, dann ist auch cos (rx) algebraisch für alle rationalen r.

Stichworte: Eigenschaften algebraischer Zahlen, Formel von Moivre

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Die Facharbeit ist erhältlich in folgenden Formaten: